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O texto a seguir teve uma primeira edição, bem
diferente desta, preparada no início dos anos 90 para a revista “Diário
de Bordo”, um fanzine de aficcionados do seriado Star Trek (o “Jornada
nas Estrelas”, do Sr. Spock et al). Na época, eu era um dos editores da
Aleph, que publicava livros de ficção científica, inclusive muitos com
epsódios desse famoso seriado. Não sei ao certo quem foi o idealizador
do engenhoso modelo descrito no texto. Lembro, entretanto, que quem me
descreveu esse modelo pela primeira vez foi o Prof. Acácio Riberi, na
Escola Municipal de Astrofísica de São Paulo, por volta de 1978 ou 1979.
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A MASSA DO
UNIVERSO
por
Renato
da Silva Oliveira
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MODELOS E REALIDADE
| A Ciência é muito mais uma maneira de pensar do que
uma coleção de conhecimentos. Einstein, Leibiniz, Poincaré, e inúmeros
outros grandes pensadores, cientistas renomados, servem como “muletas
intelectuais” para apoiar essa afirmação.
A Ciência recria parcialmente a realidade, seja lá o que
quer que signifiquemos por “realidade”, em modelos: físicos e matemáticos
simplificados.
As afirmações, em Ciência, referem-se sempre a um contexto específico, são
relativas a um modelo dado.
Os modelos são sempre incompletos, mais simples,
mas matematicamente mais tratáveis que a realidade que pretendem representar. Dependendo da
finalidade do modelo, uma ou outra propriedade percebida na realidade pode ser
omitida ou ressaltada.
Tome-se representação da órbita de um
planeta em torno do Sol: uma ilustração num livro didático, por exemplo. É
comum vermos as órbitas representadas por elipses, de excentricidade suficiente
para serem percebidas a uma simples olhadela. Entretanto, sabemos que as órbitas
dos planetas, a rigor, NÃO são elipses.
Nas modelizações mais comuns encontradas nos livros didáticos,
exagera-se a excentricidade orbital (para ressaltar o caráter elíptico) mas
omitem-se as variações fortuitas produzidas pelas inúmeras outras interações
gravitacionais, principalmente com (e entre) os planetas gigantes.
A afirmação da 1ª Lei de Kepler (Os planetas deslocam-se
em órbitas elípticas em torno do Sol) define e subentende a aceitação de um
modelo do Sistema Solar. Não é uma regra absoluta, mas uma lei dentro de um
contexto previamente definido, dentro de um modelo. E nesse modelo, aí sim, é
uma verdade inquestionável.
O sucesso do modelo em explicar ou prever observações e
experimentos é a medida de sua aceitação como verdade objetiva, aplicável à
realidade.
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"A
ciência não é apenas uma coleção de leis, um catálogo de fatos não
relacionados entre si. É uma criação da mente humana, com seus
conceitos e idéias livremente inventados."
Albert Einstein
"...
a busca da verdade é mais preciosa do que a sua posse."
G.E. Lessing, citado
por A. Einstein e L. Infeld
"A
ciência é obra do espírito humano, que é antes destinado a estudar do
que a conhecer, a procurar a verdade, do que a achá-la."
Evarist Galois
"Ele
gostava de ver crescerem nos jardins de outrem as plantas para as quais
fornecera as sementes. Estas sementes, são freqüentemente mais
apreciadas que as próprias plantas; a arte de descobrir, em Matemática,
é mais preciosa que a maioria das coisas que se descobrem."
Fontenelle,
sobre Leibinz
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| O modelo apresentado adiante é apenas isto: um modelo da
realidade. Certamente muito incompleto e até mesmo, em alguns pontos, com
inconsistências internas. Também não leva em conta a hipótese inflacionária
do Big-Bang e nem as recentes especulações sobre "matéria
escura", machos, wimps, e outras idéias — algumas delas quase esotéricas
— surgidas nas duas últimas décadas. Mas é um modelo surpreendentemente convincente quanto aos seus
resultados pedagógicos e numéricos. Primeiro, mostra que a partir de uns
poucos princípios e observações pode-se construir um modelo sobre o Universo
inteiro. Depois, obtém resultados compatíveis com cálculos elaborados a
partir de modelos bem mais complexos, bem mais completos, e matematicamente bem
mais complicados.
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"A
tentativa de entender o Universo é uma das poucas coisas que elevam a
condição humana da farsa à elegância da tragédia."
Steven
Weinberg
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A LEI DE HUBBLE
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Segundo as teorias tipo "Big Bang" o
Universo teve origem numa enorme "explosão". A partir dela todas as suas partes
estão se afastando mutuamente, umas das outras.
Uma vez ocorrido o impulso inicial, cada parte (e cada partícula)
passou a mover-se sujeita a atração gravitacional de toda a massa do Universo.
Assumiremos que na grande explosão, algumas partículas partiram com
grandes velocidades, outras com velocidades menores. As que partiram com maior
velocidade são as que estão mais afastadas.
Ainda hoje os objetos que estão mais distantes (quasares)
afastam-se de nós com velocidades muito grandes e os objetos mais próximos
(algumas galáxias) afastam-se com velocidades menores. Esse comportamento é
conhecido como "Lei de Hubble" (em homenagem ao astrônomo Edwin
Hubble, o mesmo que emprestou nome também ao telescópio espacial HSB) e pode
ser equacionado assim: |
Representação artística do Big-Bang. |
Vr = K.d
(Vr = velocidade de recessão, ou de afastamento, do
objeto;
K = constante de Hubble-Humanson; d = distância
do objeto)
Observando objetos distantes, como, por exemplo, os
quasares, podemos determinar suas distâncias e suas velocidades de recessão e
calcular, a partir disso, o valor de K em 50 km/s/Mpc (cinqüenta
quilômetros por segundo por megaparsec, sendo 1 Mpc @ 3.1024cm).
Isso significa que para cada megaparsec de distância, o
objeto deve ter 50 km/s de velocidade.
A maior velocidade que uma partícula pode ter adquirido no
"Big Bang" é a velocidade da luz (c @ 300.000 km/s).
Os fótons de radiação, por exemplo, partiram com essa velocidade. Portanto, o
"limite" do Universo é formado por fótons e, talvez, outras partículas
que deslocam-se com a velocidade da luz.
A ENERGIA DE UM FÓTON E A MASSA DO UNIVERSO
Vamos imaginar um desses fótons primordiais, na
"borda" do Universo.
O fóton não tem massa de repouso, mas pode-se atribuir a
ele uma "massa equivalente", de modo a poder calcular a sua interação
com campos gravitacionais.
Sua energia total Et (desprezada a sua energia
intrínseca h.n) é a soma da sua energia cinética
Ec com a sua energia potencial gravitacional Epg.
Por outro lado, supondo que nosso Universo seja fechado,
isto é, que sua massa é suficiente, exatamente, para deter a atual expansão,
podemos considerar a energia total do fóton nula.
Et = Ec + Epg = 0
Ec = m.c2/2
(m = massa equivalente do fóton e
c = velocidade da luz no vácuo = 3.1010cm/s)
Epg = - G.MU.m/RU
(G = Constante Universal de Gravitação = 6,67.10-8cm3g-1s-2;
MU = massa do Universo e RU = "raio
do Universo" =
distância percorrida pelo fóton desde o Big Bang)
Portanto:
m.c2/2 - G.MU.m/RU = 0
m.c2 = 2.G.MU.m/RU
c2 = 2.G.MU/RU
MU = (c2/G/2).RU
O "RAIO" DO UNIVERSO
Com essa última equação, podemos calcular a massa do
Universo MU se conhecermos o valor de RU, que vamos chamar de
"raio do Universo". Podemos calcular o valor de RU usando a
"Lei de Hubble" para o nosso fóton hipotético na “borda” do
Universo.
Vr = K.d
d = Vr/K
Sendo Vr = c e d = RU
temos:
RU = c/K
RU @ (300.000 km/s)/(50 km/s/Mpc)
RU @ 6.000 Mpc @ 1,8.1028cm
Portanto, até este momento o fóton deve ter percorrido 6.000
Mpc (seis mil megaparsecs) e é esse o valor do "raio do
Universo".
A MASSA DO UNIVERSO
Então, já podemos calcular a massa do Universo.
MU = (c2/G/2).RU
MU = 6,75.1027.RU
MU = 6,75.1027.1,8.1028
MU = 1,2.1056g
E eis aí, ainda que com muitas simplificações e
arredondamentos, nossa estimativa para a massa do Universo. Mas é muito difícil
imaginar o que significa um número com 57 algarismos. Vamos tentar estimar
quantas estrelas existem no Universo.
QUANTAS ESTRELAS EXISTEM NO UNIVERSO?
Para isso, vamos supor que, em média, as estrelas tenham
uma massa equivalente à massa do Sol (M0 @ 2.1033g).
Então, o número de estrelas ne é facilmente obtido:
ne = MU/M0
ne @ 1,2.1056/2.1033
ne @ 6.1022
Então, segundo nosso modelo, existem cerca de 1023
estrelas no Universo!
QUANTAS SÃO AS GALÁXIAS NO UNIVERSO?
Mesmo assim, um número com 23 algarismos ainda é pouco
compreensível. Vamos estimar o número de galáxias que existem no Universo.
Vamos supor que a nossa galáxia (a Galáxia), com suas cerca de 3.1011
estrelas, seja uma boa amostra das outras. Então, o número de galáxias ng
será:
ng =
ne/3.1011
ng =
6.1022/3.1011
ng = 2.1011
Duzentos bilhões de galáxias! Isso já é um pouco menos
incompreensível.
QUAL A IDADE DO UNIVERSO?
Bem, e o que dizer da "idade" do Universo? Há
quanto tempo ocorreu o "Big Bang"?
Isso é fácil de se estimar, se soubermos que 1 parsec
equivale a 3,26 anos-luz (1pc = 3,26 a.l.).
Portanto, sendo RU @ 6.000Mpc, então RU
será aproximadamente 18.109 anos-luz.
Mas RU é a distância que um fóton primordial já
percorreu desde o "Big Bang", o início de tudo.
E o tempo para o fóton percorrer 18 bilhões de anos-luz
é 18 bilhões de anos! Essa é a "idade" do Universo em nosso modelo.
MODELOS E ERROS
Nessas nossas estimativas, estão embutidos muitos erros
que, a rigor, não são nada desprezíveis. O surpreendente, entretanto, é que as mesmas
estimativas feitas com o rigor necessário fornecem como resultado valores próximos
aos que obtivemos.
Os métodos apresentados tem apenas um valor didático, no
sentido de que mostram, de maneira simples, como se pode equacionar todo o
Universo. A questão dos erros é de importância menor nesse contexto, ainda
que deva ser abordada.
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