Newton e a Lei Fundamental da Dinâmica

Por Renato da Silva Oliveira

“…Quem está no comando agora?”
“Penso que é Sir Isaac Newton…”
Diálogo entre a torre de controle na Terra e os astronautas da Apollo 13, durante a reentrada na atmosfera terrestre.

Este texto foi gerado “ao correr da pena” para um fanzine no início dos anos 90 e está reproduzido aqui como pequenas alterações.

Na segunda metade do século XVII, um jovem de 23 anos respondeu, em alguns meses, centenas (talvez, milhares) de questões sobre as quais muitas das mentes mais brilhantes vinham se debruçando desde a mais remota antiguidade sem obter resultados satisfatórios.

Antigos sábios na aurora da nossa civilização, filósofos gregos na Antiguidade clássica, sábios árabes e filósofos cristãos na Idade Média, Leonardo, Galileo, Kepler, Descartes, e centenas de outros grandes pensadores perseguiram, cada um deles, hipóteses e teorias que explicassem os mais simples fenômenos da natureza, como a queda de uma pedra ou o suceder dos dias e das noites.

O árduo trabalho intelectual de muitos deles foi estudado, criticado, corrigido, melhorado, completado e sintetizado com a genialidade daquela que foi, talvez, a mente científica mais brilhante que a humanidade já conheceu: Sir Isaac Newton.

Sua contribuição para o gênero humano já seria a mais extensa que conhecemos se considerarmos apenas sua teoria física mecânica, sobre os movimentos dos corpos. Mas muito mais importante e muito mais profícua foi a enorme influência de suas idéias em toda a estrutura do pensamento ocidental.

Especificamente, as idéias de Newton tornaram-se a base “quase” sólida a partir da qual toda a física moderna foi erigida. A Teoria da Relatividade e a Mecânica Quântica não são construções ex nihilo e, ao contrário do que muitos textos fazem parecer, guardam ainda em suas estruturas muitos conceitos físicos newtonianos.

Mas a impregnação dos conceitos newtonianos no modo de pensar ocidental é total e inexorável, não se restringindo apenas à Física.

Alguns pensadores demarcam a base de toda a filosofia moderna com as obras de Kant e Hume e ambas estão explicitamente imbuídas da visão newtoniana do Universo.

Assim, a extensão da filosofia natural de Newton permeia toda a nossa cultura científica e humanística.

O que melhor sintetiza a teoria Mecânica de Newton são três “leis” conhecidas como “Leis de Newton” ou “Leis da Dinâmica”. E dessas, a que é conhecida como 2ª Lei de Newton ou, muito apropriadamente, de “Lei Fundamental da Dinâmica”, é a síntese máxima das três. De certa forma, a 1ª e a 3ª leis estão implícitas nessa Lei Fundamental.

1ª Lei de Newton (Lei da Inércia)

Todo corpo permanece em repouso ou em movimento retilíneo uniforme a menos que uma força aja sobre ele.

Em outras palavras, se nenhuma força age sobre um corpo ele não altera sua velocidade. Se estiver parado (o que corresponde a ter velocidade nula), continuará parado. Se estiver se deslocando, com uma velocidade qualquer, permanecerá em seu movimento sem alterá-lo. Esta é a lei mais apreciada pelos preguiçosos, pois com ela podem justificar sua compulsão para a inércia com a desculpa filosófica de que estão seguindo uma lei da natureza. Eu, pessoalmente, sou muito fã dela.

Essa lei não diz como o movimento de um corpo é alterado quando há uma força agindo sobre ele. Apenas diz que se houver força agindo, o corpo não vai ficar parado e nem vai manter uma velocidade constante.

2ª Lei de Newton (Lei Fundamental da Dinâmica)

Quando uma força age sobre um corpo, a variação do seu movimento é inversamente proporcional à sua massa e diretamente proporcional à força aplicada.

Esta lei diz como o movimento de um corpo é alterado se há uma força agindo sobre ele, complementando assim a Lei da Inércia.

Para uma dada força aplicada ao corpo, quanto maior a força, maior a variação do movimento, e quanto maior a massa do corpo, menor a variação do movimento.

Por “variação do movimento” de um corpo podemos entender sua mudança de velocidade, ou sua aceleração.

Então, uma outra maneira de dizer a mesma coisa é: um corpo de massa m e sujeito a uma forma F sofre aceleração proporcional à F e inversamente proporcional à m: a = F / m

Na forma mais conhecida, essa equação é escrita assim:

Força = massa x aceleração

F = m x a

F é a força que age sobre o corpo; m é a massa do corpo; a é a aceleração (variação da velocidade com o tempo) a que o corpo fica sujeito devido à ação da força.

Como a massa de um corpo é constante (ao menos na mecânica de Newton), se a força variar, a aceleração vai variar da mesma forma.

Se a força dobra, a aceleração também dobra.

Se a força é reduzida à metade, a aceleração também é reduzida à metade.

Se a força é multiplicada ou dividida por um fator x, então a aceleração é correspondentemente multiplicada ou dividida pelo mesmo fator.

Essa lei, aparentemente muito simples e singela, esconde um dos maiores triunfos da mente humana e foi a chave que abriu as portas para o desenvolvimento de toda a física que conhecemos hoje. Tanto a que permite mandar o homem ao espaço, quanto a que produziu a bomba atômica.

Um observação muito importante é que nem sempre que uma força F é aplicada sobre um corpo, ela age sobre ele produzindo aceleração. Muitas vezes, ela produz no corpo apenas uma deformação, ainda que imperceptível. Por exemplo, se você empurrar a parede da sua casa, por mais que você faça força, ela não vai ser acelerada. Talvez, você acabe sendo acelerado para um hospital psiquiátrico, mas isso é tudo. O que ocorre nessas situações é que há outras forças agindo sobre o corpo que podem equilibrar, tornando ineficaz, a força F aplicada.

Pode-se explicitar essa questão reformulando o enunciado da Lei Fundamental assim: uma força eficaz F aplicada sobre um corpo de massa m produz nele uma aceleração a. Uma outra expressãop para “força eficaz” é força RESULTANTE.

Esta 2ª lei foi o trampolim que permitiu a Newton chegar à Lei da Gravitação Universal.

Desde a época de Galileo, conhecia-se bem o comportamento dos corpos em queda livre.

Um corpo solto de uma altura h cai segundo a equação horária dos espaços h = g.t²/2 onde g é a aceleração do movimento e t é o tempo de queda até o chão. Definindo a altura h e medindo o tempo de queda, calcula-se o valor de g por: g = 2.h/t²

Newton pôde calcular facilmente a força com que a Terra atrai os corpos em queda.

Para um dado corpo de massa m, usando o valor calculado de g na Lei Fundamental, tem-se: F = m.g

Conheciam-se também as Três Leis de Kepler, que descreviam de forma bastante precisa os movimentos dos astros, entre os quais, a Lua.

Newton deduziu que se a força de atração da Terra se estendesse até a Lua, sua trajetória estaria de acordo com as Leis de Kepler.

Foi mais ou menos por esse caminho que ele chegou à Lei da Gravitação Universal, o coroamento máximo de sua obra: F = G.m.M / d²

De acordo com essa lei, a força com que um corpo de massa m é atraído por outro, como a Terra, de massa M, é diretamente proporcional ao produto de suas massas (e a constante de proporcionalidade é G, a Constante Universal da Gravitação) e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os corpos.

Para o caso da Terra e de um corpo próximo à sua superfície, pode-se considerar a distância de separação d como sendo o raio da Terra, r, e a lei da gravitação pode ser escrita assim: F = G.m.M / r²

Igualando as duas equações para a força F, temos: m.g = G.m.M / r²e g = G.M / r²

A aceleração da gravidade g próxima à superfície da Terra é proporcional à sua massa M e inversamente proporcional ao quadrado de seu raio r.

3ª Lei de Newton (ou Lei da Ação e Reação)

Esta lei considera que toda força aplicada a um corpo é aplicada por outro corpo. Então, implicitamente, ela considera um sistema de ao menos 2 corpos e diz:

À toda força atuante sobre um corpo, corresponde uma outra força de mesma intensidade, mas contrária à primeira, aplicada no corpo que a produziu.

De certa forma, a 3ª Lei afirma que “é dando que se recebe”.

Por exemplo, se você der um soco na parede, a parede retribuirá instantaneamente, dando um “soco” simultâneo na sua mão. A força de ação F que você exerce na parece produz instantaneamente uma força F’, reativa à primeira, e que é exercida em você, com mesma intensidade e no sentido exatamente contrário.

É importante observar que a ação é aplicada num corpo (a parede) e a reação é aplicada em outro (sua mão). As forças F (ativa) e F’ (reativa) são aplicadas sempre em corpos distintos.

Voltando à Lei Fundamental

A 2ª Lei de Newton sintetiza, em si, as outras duas de modo que poder-se deduzi-las a partir da Lei Fundamental. Há algumas objeções à consistência dessas deduções mas que não têm, elas mesmas, consistência.

O caminho que leva da Lei Fundamental à Lei da Inércia é evidente.

Na expressão F = m.a se considerarmos o caso em que a força F é nula, o que corresponde à ausência de força eficaz, então, para qualquer valor da massa (não nula) de um corpo, a aceleração necessariamente será nula: 0 = m.0

E essa é exatamente a situação explicitada pela Leia da Inércia, a 1ª Lei de Newton: se não há força agindo sobre um corpo, ele não altera seu movimento (sua velocidade é nula ou constante).

Para essa “dedução”, a principal objeção argui que a primeira lei é necessária para estabelecer o “referencial inercial” onde a Lei fundamental será válida. Mas a Lei da Inércia não é apresentada como um axioma ou tomada como premissa para a segunda, e mesmo que se queira especificar o referencial inercial com a primeira lei, pode-se fazer o mesmo com a segunda, tomando exatamente o caso em que ela se reduz a primeira. Em outras palavras, se a Lei da Inercia pode ser usada para definir o referencial inercial, a Lei Fundamental, que a tem como caso particular, também pode.

Para chegar à Lei da Ação e Reação é necessário considerar a ideia de “sistema de corpos”. Em vez de olhar e pensar apenas sobre um corpo, considera-se ao menos 2 corpos que podem, ou não, estarem interagindo entre si e esse conjunto, identificado e individualizado no espaço e no tempo em relação a todo o restante do Universo, é um sistema físico.

Considerando que sempre podemos pensar 2 corpos quaisquer, um agindo sobre o outro, — duas pessoas se abraçando fortemente, por exemplo, ou um ímã e uma cubo de ferro, ou uma bola de tênis amassada sobre uma raquete —, como um sistema único. Nesse caso, se o conjunto, ou sistema, de dois corpos estiver sem aceleração então a força eficaz, resultante, sobre o sistema tem que ser nula. Mesmo garantindo que não haja força eficaz externa agindo sobre o sistema, a resultante total, então devida apenas a eventuais forças internas, terá que continuar nula. E isso implica que a resultante interna tem que ser nula. Forças internas, quando existirem, são apenas as que um corpo aplica em outro e, necessariamente, têm que se equilibrar. Se um corpo tem massa m1 e aceleração a1 e o outro m2 e a2, então F1=m1.a1 tem que ter mesma intensidade e direção que F2=m2.a2, mas com sentido oposto. Porque somadas todas as forças agindo sobre o sistema, internas ou externas, a resultante tem que ser nula, e se sem a contribuição de F1 e F2 a resultante é nula, então com as contribuições de F1 e F2 sozinhas têm que ser nula também.

E essa é a 3ª Lei de Newton.

Sobre os Ombros de Gigantes

“Se eu enxerguei mais longe que Descartes é porque me sustentei sobre os ombros de gigantes.”

Isaac Newton

Isaac Newton morreu em 27 de março de 1727. Seu gênio pode aflorar, mais alto que os de todos os seus contemporâneos, na Inglaterra do século XVII.

Newton colheu os frutos já maduros do árduo trabalho de Galileo (métodos de pesquisa e a cinemática terrestre), de Kepler (a cinemática celeste) e de Descartes (a geometria analítica).

Sua obra lhe valeu o título de Sir, o mais alto concedido pela coroa da Inglaterra a um plebeu. É uma honra para todos nós, humanos, que ele tenha existido.