O PARADOXO DE OLBERS – POR QUE A NOITE É ESCURA?

por Renato da Silva Oliveira
 
Este texto foi desenvolvido a partir de anotações utilizadas numa palestra proferida por mim na Escola Municipal de Astrofísica de São Paulo, em meados dos anos 80. Procurei não evocar considerações matemáticas na parte principal do texto. Para os interessados, há apêndices com resumos de desenvolvimentos matemáticos que permitem justificar as afirmações do texto principal.
 

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“E Deus disse:  — Faça-se a luz!
E a luz se fez.
E Deus viu a luz, que era boa;
e Deus separou a luz das trevas.
E Deus chamou a luz de dia e
as trevas de noite.
E a tarde e a manhã foram do 1º dia.”
Gênesis

 

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Heirich Wilhelm Olbers nasceu em 1758 na pequena cidade de Arbergen, na Alemanha.

Seus trabalhos como astrônomo incluem a elaboração de um novo método para a determinação das órbitas de cometas; a descoberta de 6 cometas, um dos quais leva seu nome; vários estudos sobre os planetas e a descoberta de 2 dos maiores asteróides: Palas e Vesta.

Nada mal para um astrônomo de sua época!

Mas o que o tornou mais conhecido não foi a difícil observação dos asteróides ou os sistemáticos estudos dos planetas. Nem a descoberta de cometas ou seu elaborado método para calcular-lhes as órbitas.

O que fez Olbers um nome conhecido até nossos dias entre os astrônomos foi uma singela pergunta que ele fez a si mesmo e para a qual nunca obteve uma resposta satisfatória:

Por quê a noite é escura?

UM UNIVERSO INFINITO E IMUTÁVEL

Nos tempos de Olbers era ideia corrente que o Universo fosse infinito e que fossem também infinitas as estrelas.

Espalhadas de maneira uniforme por todo o espaço, elas permaneceriam estáticas e imutáveis por toda a eternidade.

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Imagem fotográfica de uma região da Via-Láctea.

Olbers, ao tentar responder a pergunta que se havia feito, percebeu que havia algo errado com essa idealização de Universo.

Se ele fosse infinito e imutável, as noites deveriam ser claras… muito… muito claras!

Infinitamente claras!

E, mais do que isso: Os dias também deveriam ser infinitamente claros!

Através de cálculos muito simples, Olbers concluiu que tanto as noites quanto os dias eram demasiadamente “escuros”.

Em suas tentativas para explicar a enorme discrepância entre seus cálculos e suas observações, Olbers fez várias suposições que, mais tarde se mostraram errôneas.

Por exemplo, ele imaginou que a luz da maioria das estrelas era absorvida por outras estrelas ou por matéria opaca existente entre as estrelas, e que, por isso, não chegava até nós. Isso não resolvia a questão, como chegou a pensar Olbers. Se assim fosse, as estrelas e a matéria opaca estariam recebendo energia luminosa e também iriam se aquecer até irradiarem, elas mesmas, tanta luz quanto estivessem recebendo. E, nesse caso, o céu inteiro deveria ser tão ou mais luminoso que a superfície do Sol!

Parte da Via-Láctea observada através de
um pequeno telescópio.

Havia um mistério muito mais profundo do que Olbers imaginava no fato de as noites e os dias serem tão “escuros”.

O UNIVERSO DE OLBERS

No início do século XIX era comum imaginar o Universo com as 7 características enumeradas abaixo. Nem sempre elas eram explicitadas, mas estavam sempre presentes, implícitas nas conjecturas dos astrônomos da época. Para eles, o Universo:

  • 1. Era INFINITO em extensão;
  • 2. Era ESTÁTICO, sem grandes movimentos em grande escala;
  • 3. Era HOMOGÊNEO, com infinitas estrelas distribuídas uniformemente por todo o espaço;
  • 4. Era ISOTRÓPICO, isto é, suas estrelas tinham brilhos parecidos em todas as regiões e para onde quer que olhássemos, o aspecto geral do Universo seria o mesmo.
  • 5. Era IMUTÁVEL, tendo suas características gerais inalteradas com o passar do tempo;
  • 6. Era EUCLIDIANO, isto é, em todos os lugares a geometria euclidiana seria válida: o Teorema de Pitágoras poderia ser aplicado em qualquer porção do espaço;
  • 7. Era FÍSICO, e não metafísico: as leis da Física valeriam em todo o Universo (e não apenas na Terra) e seriam sempre válidas, em quaisquer circunstâncias.

Mas, se existem infinitas estrelas espalhadas uniformemente pelo espaço, nós, aqui na Terra, deveríamos estar, a cada instante, recebendo a luz de todas elas simultaneamente!

Com esse modelo de Universo em mente, era absolutamente necessária uma oitava e indesejada característica: os dias e as noites deveriam ser infinitamente luminosos.

Como as noites são escuras e os dias são apenas suportavelmente claros, o modelo deveria estar errado.

Herman Bondi, um grande físico do século XX, chamou a essa inconsistência de “Paradoxo de Olbers” e mostrou que, até então, ele ainda não estava completamente solucionado.

É surpreendente como uma pergunta tão “infantil” pôde suscitar tantas outras questões e como a singela observação de que existem as noites e os dias pôde nos dar tantas respostas. Nesta, com em inúmeras outras vezes na história da Ciência, foi muito mais importante fazer a pergunta certa que encontrar a resposta para ela.

Vamos ver o que podemos mudar no modelo de Universo de Olbers para tentar deixá-lo coerente, eliminado o “paradoxo”.

UM UNIVERSO FINITO

Num Universo finito teremos uma quantidade finita de estrelas, de modo que, no máximo, estaríamos recebendo aqui na Terra a luz procedente de todas elas, mas não de infinitas estrelas.

Se supusermos que o Universo é finito, ele terá que ser muito pequeno para explicar a escuridão das noites e a fraca claridade dos dias.

Atualmente, acredita-se que o Universo é finito, mas não tão pequeno a ponto de justificar e explicar completamente o “paradoxo” de Olbers.

UM UNIVERSO (QUASE) VAZIO (NÃO HOMOGÊNEO)

Independentemente de o Universo ser finito ou infinito, se supusermos que a quantidade de estrelas é bem pequena, podemos resolver o “paradoxo”. Entretanto, a quantidade de estrelas teria que ser muito… muito pequena mesmo!

Os modelos de Universo atuais preveem que existam cerca de 10 bilhões de trilhões de estrelas irradiando energia sob forma luminosa. Só com isso, o céu deveria ser bem mais claro do que é.

UM UNIVERSO HIERÁRQUICO (NÃO HOMOGÊNEO)

Se a maioria das estrelas estiverem concentradas numa região do espaço, podemos explicar as noites e os dias. Nesse caso, a homogeneidade do Universo tem que ser abandonada, mas todas as observações já realizadas indicam que o Universo é, efetivamente, homogêneo em larga escala.

UM UNIVERSO CURVO (NÃO EUCLIDIANO)

Mesmo que não consideremos o Teorema de Pitágoras válido e o substituamos por outra regra, de outra geometria, o “paradoxo” não é eliminado. De nada adianta mudar a geometria do espaço.

UM UNIVERSO DINÂMICO (NÃO ESTÁTICO)

Na época de Olbers, a suposição de movimentos globais, em larga escala, no Universo, não implicava na solução do “paradoxo”.

Em 1848, Armand Hippolyte L. Fizeau (1819-1896) aplicou à Óptica os princípios que Christian Doppler (1803-1853) usara na acústica para explicar a mudança na freqüência do som emitido por corpos em movimento. O Efeito Doppler, aplicável ao som, podia ser, então, aplicado à luz.

Usando o Efeito Doppler-Fizeau podemos explicar a escuridão das noites supondo que a maioria das estrelas estão se afastando muito rapidamente de nós, de modo que a energia que elas emitem em nossa direção fica cada vez mais fraca.

UM UNIVERSO DE ESTRELAS ESTRANHAS (NÃO ISOTRÓPICO)

Se supusermos que a grande maioria das estrelas têm brilho muito menor que o do Sol, podemos ajeitar as coisas para que o céu seja escuro como o observamos.

Entretanto, o Sol é considerado pelos físicos com uma estrela típica. Isto é, se pudéssemos determinar as características de todas as estrelas, tirar uma média e fazer uma estrela com as características médias, ela seria muito parecida com o Sol.

Tanto os modelos teóricos quanto as observações indicam que as estrelas não são muito estranhas.

UM UNIVERSO JOVEM (NÃO IMUTÁVEL)

Se todas as estrelas forem muito jovens, pode ser que a luz das que estão mais distantes ainda não tenha chegado até nós.

O “paradoxo” poderia ser resolvido com esta suposição, porém as teorias sobre a evolução das estrelas mostra que a maioria delas é velha o suficiente para que já as vejamos brilhando no céu.

O Universo teria que ser muito mais jovem do que parece ser, com seus 15 bilhões de anos.

UM UNIVERSO METAFÍSICO

Talvez a maneira mais simples e mais eficiente de resolver o “paradoxo” de Olbers seja imaginar que as leis da física têm validade restrita à uma certa porção de espaço e num certo intervalo de tempo.

Qualquer coisa seria possível e natural. Nada seria de estranhar.

Apesar de ser muito mais eficiente, abrangente e completa essa forma de “driblar” o “paradoxo” de Olbers (e todos os demais paradoxos) é descartada pelos cientistas. Ela explica qualquer coisa; está de acordo com todas as observações já realizadas e com todas as que ainda serão feitas. Pena que não possamos tirar proveito dela.

A EXPLICAÇÃO “OFICIAL”

Os modernos modelos de Universo explicam a existência dos dias e das noites a partir de 3 pressupostos:

  • 1. Existe um número finito de estrelas no Universo;
  • 2. As estrelas “vivem” por um tempo limitado, isto é, elas não emitem radiação para sempre;
  • 3. Todo o Universo está se expandindo e a luz da maioria das estrelas sofre uma significativa perda de energia antes de chegar à Terra.

Este último pressuposto parece ser o principal responsável pela escuridão do céu noturno.

A solução para o “paradoxo” de Olbers só foi possível através dos modernos modelos cosmológicos. Entretanto, antes de obter respostas satisfatórias, foi preciso formular as perguntas certas.

Olbers não foi o primeiro a questionar-se sobre a escuridão da noite. Antes dele, vários outros físicos e astrônomos pensaram a respeito desse assunto: Thomas Digges (1576), William Gilbert (1600), Johannes Keppler (1610), Otto von Guericke (por volta de 1640), Edmund Halley (1721), Jean-Philip Loys de Cheseux (1744), e muitos outros.

Às vezes, o limite está bem ali, diante de nós, à nossa frente. Quase tropeçamos nele, mas é preciso saber olhar para poder vê-lo.

APÊNDICES

ESFERA CELESTE

Na Antiguidade, observando o céu, os povos Mesopotâmicos e Gregos imaginaram que a as estrelas se encontravam fixadas numa gigantesca esfera cristalina, a qual denominaram ESFERA CELESTE. Atualmente, apesar de sabermos que as estrelas estão a distâncias diversas de nós, podemos utilizar o conceito de Esfera Celeste dos antigos Gregos com pequenas modificações, tornando-o numa útil ferramenta matemática para representarmos as estrelas no céu.

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A Esfera Celeste é uma abstração muito simples, mas muito útil.

Assim, podemos definir Esfera Celeste (EC) como sendo uma esfera qualquer, de raio unitário e centro coincidente com o centro da Terra (EC Geocêntrica) ou com o olho do observador (EC Topocêntrica) na qual estão projetados radialmente todos os astros.

Para objetos celestes próximos, como a Lua ou mesmo os planetas, há diferenças significativas entre a EC Geocêntrica e a EC Topocêntrica (paralaxe).

Para as estrelas e demais objetos celestes distantes, ambas se identificam.

O conceito de Esfera Celeste pode ser útil a análise do Paradoxo de Olbers.

FLUXO LUMINOSO DE UMA ESTRELA

Uma estrela qualquer irradia uma certa quantidade E de energia luminosa num determinado intervalo de tempo Δt.
Define-se a Luminosidade (L) da estrela como sendo a razão entre E e Δt. A Luminosidade de uma estrela é, então, a quantidade total de energia irradiada por ela numa unidade de tempo.

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Define-se o Fluxo Luminoso (φ) de uma estrela a uma determinada distância (d) como sendo a quantidade de radiação que ela emite na unidade de tempo e que atravessa perpendicularmente uma área unitária.

O fluxo luminoso de uma estrela decai, portanto, com o quadrado da distância à estrela.

Se, a uma distância d o fluxo é φ1, a uma distância 2d o fluxo será φ2 = φ1/4, uma vez que a área a ser atravessada aumenta com o quadrado da distância.

Assim, por exemplo, o fluxo na superfície de uma estrela é, simplesmente, a sua luminosidade dividida pela sua área superficial.

A uma dada distância d da estrela, o fluxo φd será a a luminosidade L dividida pela área de uma esfera de raio d, que é a área total 4πd² a ser atravessada pela energia irradiada pela estrela.

DISTRIBUIÇÃO DE ESTRELAS

Num Universo homogêneo, em larga escala, a quantidade de estrelas (Nd) a uma distância d da Terra é proporcional ao quadrado dessa distância.

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Assim, podemos imaginar que, se:

  • a uma distância d existe uma camada esférica com N estrelas,
  • a uma distância 2d existe outra camada com 4N estrelas, e
  • a uma distância 3d existe outra camada com 9N estrelas, etc.

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FLUXO DE UMA CAMADA DE ESTRELAS E FLUXO TOTAL NA TERRA

Cada camada concêntrica de estrelas irradia uma certa quantidade de radiação em direção à Terra.

O fluxo φ de cada estrela é inversamente proporcional ao quadrado da distância d da camada à Terra.

A quantidade n de estrelas em cada camada é diretamente proporcional ao quadrado dessa mesma distância d.

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Supondo que as estrelas, em larga escala, sejam estrelas médias (isto é, assumindo que as características reais das estrelas possam ser substituídas por características médias, de uma estrela média hipotética), podemos assumir suas luminosidades como equivalentes entre si.

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Assumindo que o Sol seja uma estrela típica, com características semelhantes à estrela média hipotética, podemos considerar a luminosidade LΘ do Sol como sendo a luminosidade média das estrelas.

Assumindo, ainda, que a distribuição espacial das estrelas seja homogênea, em larga escala, podemos expressa a quantidade de estrelas em cada casca esférica em função da densidade média volumétrica de estrelas no espaço, ρ*.

A partir disso, fica fácil calcular o fluxo total de cada casca esférica de estrelas e o fluxo total de todas as estrelas, de todas as cascas, sobre a Terra.

UNIVERSO FINITO DE RAIO r

O fluxo total ΦT de todas as camadas de estrelas sobre a Terra é dado pela somatória do fluxo de cada camada. Assim, num Universo de raio finito r, o fluxo ΦT é, também, finito e é dado simplesmente pelo produto da luminosidade média das estrelas (luminosidade do Sol, LΘ), pela densidade volumétrica média de estrelas no espaço, e pelo raio r.

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ESPAÇO NÃO EUCLIDIANO

Num espaço não euclidiano, o Teorema de Pitágoras original não é válido. A área da casca esférica não é dada por 4.π.r², mas sim por uma outra função A=f(r) que depende do raio r . Assim, as equações para o fluxo luminoso de uma estrela, para o volume de uma casca esférica de estrelas e para a quantidade de estrelas em cada casca têm que ser alteradas para:

OlbersFormula2

Reescrevendo, também, as equações para o fluxo de cada casca e para o fluxo total de todas as estrelas, de todas as cascas, sobre a Terra, vemos que elas não se alteram:

OlbersFormula3

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PRINCÍPIO COSMOLÓGICO NÃO VÁLIDO

Se ele for, ao menos, localmente válido (e isso é observado!), então temos uma situação análoga à de um Universo finito de raio r. De qualquer forma, assim a Terra fica numa situação muito singular (Princípio Antrópico)!

EXISTE UM TEMPO UNIVERSAL

Supondo a existência de uma escala de tempo universal, podemos reescrever as equações vistas até aqui como funções do tempo, nessa escala.

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Imaginando um instante t0 , inicial, atualmente temos:

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Assim, mesmo num Universo de raio r infinito, supondo que a idade do Universo (intervalo entre t0 e tatual) seja muito pequena (muito menor do que, acreditamos, de fato é) podemos ter um fluxo total sobre a Terra finito e compatível com o observado. Entretanto, a idade assumida paro o Universo é muito maior do que a necessária para evitar-se o Paradoxo de Olbers por este caminho.

UNIVERSO NÃO ESTACIONÁRIO (EXISTÊNCIA DE MOVIMENTO UNIVERSAL)

Supondo que todo o Universo seja dotado de movimento de expansão, todas as radiações eletromagnéticas são afetadas de modo a terem sua energia intrínseca reduzida. Supondo que as estrelas irradiem com uma freqüência média ν, a luminosidade média das estrelas pode ser reescrita como:

OlbersFormula9

Na equação acima, h é a constante de Planck.

Se todas as estrelas afastam-se da Terra a grandes velocidades, o desvio Doppler-Fizeau é significativo:

OlbersFormulaA

Nas equações acima, se v é a velocidade de expansão do Universo, o fluxo total sobre a Terra pode ser reescrito como:

OlbersFormulaB

Se ,  OlbersFormulaC  , então pode-se explicar o fluxo total observado e evitar o paradoxo.